Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής και Υπολογιστών Διακριτά Μαθηματικά http://www.softlab.ntua.gr/~fotakis/discrete_math

Διακριτά Μαθηματικά

Μάθημα Επιλογής Κορμού, 4ου Εξαμήνου, Κωδικός 3.4.3209.4

Ανακοινώσεις, Γενικά, Περιεχόμενα, Παλαιότερα Έτη, Βιβλιογραφία, Συμπληρωματικό Υλικό, Προτεινόμενες Ασκήσεις, Γραπτές Εργασίες, Διαλέξεις - Διαφάνειες Φροντιστηριακές Διαλέξεις

Διαλέξεις: 28/2 | 9/3 | 16/3 | 20/3 | 23/3 | 27/3 | 30/3 | 3/4 | 6/4 | 10/4 | 13/4 | 24/4 | 27/4 | 4/5 | 8/5 | 11/5 | 15/5 | 18/5 | 22/5 | 25/5 | 28/5 | 1/6 | 5/6 | 10/6 | 12/6 

Φροντιστηριακές Διαλέξεις: 8/4 | 20/5 | 3/6 

Ανακοινώσεις

Γενικά

• Ώρες γραφείου διδασκόντων:

  • Δ. Φωτάκης: Δευτέρα 15:00 - 16:00, στο (παλαιό) Κτήριο Ηλεκτρολόγων, γρ. 1.1.10, τηλ. 210-772-4302.
  • Δ. Σούλιου: Πέμπτη 15:00-17:00, στο (παλαιό) Κτήριο Ηλεκτρολόγων, γρ. 1.1.30, τηλ. 210-772-1644.

Περιεχόμενα

• Σύνολα και πράξεις συνόλων.

• Αριθμήσιμα και μη αριθμήσιμα σύνολα, αρχή της διαγωνιοποίησης, μη υπολογισιμότητα, παράδοξο του Russell.

• Σχέσεις και συναρτήσεις. Διμελείς σχέσεις, ιδιότητες διμελών σχέσεων, σχέσεις ισοδυναμίας, σχέσεις μερικής και ολικής διάταξης, κλειστότητες σχέσεων.

• Στοιχεία προτασιακής και κατηγορηματικής λογικής.

• Αποδεικτικές διαδικασίες, μαθηματική επαγωγή, αρχή του περιστερώνα.

• Στοιχεία Θεωρίας Γραφημάτων. Είδη γραφημάτων, βαθμός κορυφής, υπογραφήματα, ισομορφισμός γραφημάτων, κλίκες και ανεξάρτητα σύνολα, χρωματικός αριθμός.

• Διαδρομή, μονοκονδυλιά, μονοπάτι, απόσταση, συντομότερες διαδρομές, κυκλώματα και ίχνη Euler, χαρακτηρισμός γραφημάτων με κύκλωμα Euler, κύκλοι και μονοπάτια Hamilton, ικανές και αναγκαίες συνθήκες, θεώρημα Dirac.

• Δέντρα χαρακτηρισμός δέντρων, συνδετικά δέντρα και ιδιότητες, εφαρμογές.

• Επίπεδα γραφήματα, τύπος του Euler, θεώρημα Kuratowski.

• Συνδεσιμότητα γραφημάτων, γέφυρες και σύνολα κοπής, σημεία κοπής και διαχωριστές, θεώρημα Menger, δίκτυα και ροές.

• Αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού.

• Συνδυαστική απαρίθμηση. Κανόνες γινομένου και αθροίσματος, εφαρμογές αρχής εγκλεισμού-αποκλεισμού, μεταθέσεις και διατάξεις, συνδυασμοί, δυωνυμικοί συντελεστές, τρίγωνο του Pascal, διανομή διακεκριμένων και μη-διακεκριμένων αντικειμένων σε υποδοχές, κατασκευή μεταθέσεων και συνδυασμών, στοιχεία διακριτής πιθανότητας, στοιχεία θεωρίας πληροφορίας.

• Γεννήτριες Συναρτήσεις. Βασικές ιδιότητες, εφαρμογή στον υπολογισμό αθροισμάτων, εφαρμογή στην επίλυση συνδυαστικών προβλημάτων, εκθετικές Γεννήτριες Συναρτήσεις.

• Επίλυση γραμμικών αναδρομικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές. Χαρακτηριστική εξίσωση, ομογενής λύση, ειδική λύση, επίλυση με τη μέθοδο των Γεννητριών Συναρτήσεων.

• Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών. Διαιρετότητα και πρώτοι αριθμοί, αλγόριθμος Ευκλείδη, αριθμητική modulo, γραμμικές ισοτιμίες, Κινέζικο θεώρημα υπολοίπων.

• Ασυμπτωτικός συμβολισμός και ασυμπτωτική εκτίμηση.

Παλαιότερα Έτη

• Ιστοσελίδα του μαθήματος για προηγούμενα ακαδ. έτη: 2018-2019, 2017-2018, 2016-2017, 2015-2016, 2014-2015, 2013-2014, 2012-2013, 2011-2012, 2010-2011, 2009-2010, 2008-2009.

Βιβλιογραφία

• Φ. Αφράτη, Γ. Παπαγεωργίου. Στοιχεία Διακριτών Μαθηματικών. Έκδοση Ε.Μ.Π., 1990.

• C.L. Liu. Στοιχεία Διακριτών Μαθηματικών (απόδοση στα Ελληνικά: Κ. Μπους και Δ. Γραμμένος). Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2003.

• K.H. Rosen. Discrete Mathematics and its Applications (6th Edition). McGraw-Hill, 2007.

• D.J. Hunter. Essentials of Discrete Mathematics (3rd Edition). Jones & Bartlett Learning, 2015.

• L. Lovasz, J. Pelikan, K. Vesztergombi. Discrete Mathematics: Elementary and Beyond. Springer, 2003.

• L. Lovasz, K. Vesztergombi. Discrete Mathematics. Lecture Notes, Yale University, 1999.

• S. Epp. Discrete Mathematics with Applications. Wadsworth, 1990.

• R.L. Grimaldi. Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction (5th Edition). Addison-Wesley, 2003.

• C.L. Liu. Introduction to Combinatorial Mathematics. McGraw-Hill, 1969.

• R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik. Concrete Mathematics. Addison-Wesley, 1989.

• Η. Κουτσουπιάς. Μαθηματικά της Πληροφορικής. ΕΚΠΑ, Οκτώβριος 2009.

• Λ. Κυρούσης, Χ. Μπούρας, Π. Σπυράκης. Διακριτά Μαθηματικά: Τα Μαθηματικά της Επιστήμης των Υπολογιστών. Gutenberg, 1994.

• Γ. Βουτσαδάκης, Λ. Κυρούσης, Χ. Μπούρας, Π. Σπυράκης. Διακριτά Μαθηματικά: Προβλήματα και Λύσεις. Gutenberg, 1994.

• Α. Συμβώνης. Διαφάνειες και υλικό μαθήματος Θεωρία Γραφημάτων.

• Δ. Θηλυκός. Σημειώσεις στη Θεωρία Γραφημάτων.

• R. Diestel. Graph Theory (4th edition), Springer, 2010.

• DiscreteMath@MIT.

• Μ. Κούτρας. Μάθημα Συνδυαστικής. Πανεπιστήμιο Πειραιά.

Συμπληρωματικό Υλικό - Σημειώσεις

• Μια χρήσιμη σύνοψη των περισσότερων βασικών εννοιών των Διακριτών Μαθηματικών (αναφέρεται και σε πολλές έννοιες που δεν θα συναντήσουμε στο μάθημα).

• Σημειώσεις σχετικά με σύνολα και πράξεις συνόλων.

• Σημειώσεις για την αποδεικτική τεχνική της Μαθηματικής Επαγωγής (Δ. Φωτάκης).

• Κάποιες σημειώσεις σχετικά με το συντακτικό και την σημασιολογία της Πρωτοβάθμιας Λογικής (Δ. Φωτάκης).

• Κάποιες σημειώσεις στις βασικές έννοιες της Θεωρίας Γραφημάτων (Δ. Φωτάκης). Δείτε ακόμη εδώ για αντίστοιχο υλικό.

• Μια σύντομη απόδειξη του Θεωρήματος Kuratowski.

• Κάποιες σημειώσεις στις βασικές έννοιες της συνδυαστικής (Δ. Φωτάκης), μια χρήσιμη σύνοψη σε μορφή διαγράμματος και η ίδια σύνοψη ενημερωμένη με τις αντίστοιχες Γεννήτριες Συναρτήσεις).

• Κάποιες σημειώσεις στις βασικές ιδιότητες των Γεννητριών Συναρτήσεων (Δ. Φωτάκης) και στις εφαρμογές τους.

• Κάποιες σημειώσεις για τεχνικές επίλυσης αναδρομικών σχέσεων (Δ. Φωτάκης).

Προτεινόμενες Ασκήσεις

• 1η Σειρά: Σύνολα. Προτασιακή και Κατηγορηματική Λογική. Σχέδιο Λύσεων.
• 2η Σειρά: Κατηγορηματική Λογική. Μαθηματική Επαγωγή. Αλυσίδες και Αντιαλυσίδες. Αρχή του Περιστερώνα. Σχέδιο Λύσεων.
• 3η Σειρά: Γραφήματα. Σχέδιο Λύσεων.
• 4η Σειρά: Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού. Συνδυαστική. Σχέδιο Λύσεων.
• 5η Σειρά: Γεννήτριες Συναρτήσεις και εφαρμογές τους στη συνδυαστική. Σχέδιο Λύσεων.

Γραπτές Εργασίες

• Εκφώνηση της 1ης γραπτής εργασίας. Ημερομηνία παράδοσης: Δευτέρα 20/4. Σχέδιο λύσεων.
• Εκφώνηση της 2ης γραπτής εργασίας. Ημερομηνία παράδοσης: Κυριακή 24/5. Σχέδιο λύσεων.
• Εκφώνηση της 3ης γραπτής εργασίας. Ημερομηνία παράδοσης: Τετάρτη 17/6. Σχέδιο λύσεων.

Διαλέξεις - Διαφάνειες

Παράδοση 28/2/2020

• Διαδικαστικά θέματα, εισαγωγή.
• Σύνολα και πράξεις συνόλων.

Παράδοση 9/3/2020

• Στοιχεία Προτασιακής Λογικής.
• Προτασιακός Λογισμός.

Παράδοση 16/3/2020

• Προτασιακός Λογισμός.
• Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής.

Παράδοση 20/3/2020

• Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής.

Παράδοση 23/3/2020

• Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής.
• Αριθμήσιμα και μη αριθμήσιμα σύνολα. Αρχή της Διαγωνιοποίησης.

Παράδοση 27/3/2020

• Αρχή Διαγωνιοποίησης.
• Μη υπολογισιμότητα.

Παράδοση 30/3/2020

• Tο παράδοξο του Russell.
• Διμελείς Σχέσεις: Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες, σχεσιακό μοντέλο Βάσεων Δεδομένων.

Παράδοση 3/4/2020

• Κλειστότητες, μεταβατική κλειστότητα, αλγόριθμος Warshall.
• Σχέσεις ισοδυναμίας.
• Σχέσεις διάταξης.

Παράδοση 6/4/2020

• Σχέσεις διάταξης.
• Αποδεικτικές Τεχνικές.

Παράδοση 10/4/2020

• Μαθηματική Επαγωγή.

Παράδοση 13/4/2020

• Αρχή του Περιστερώνα.
• Βασικές έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων.

Παράδοση 24/4/2020

• Γραφήματα: Βασικές Έννοιες: βαθμός κορυφής, διμερή γραφήματα, υπογραφήματα.
• Σύντομη εισαγωγή στo SIR μοντέλο.

Παράδοση 17/4/2020

• Γραφήματα: αριθμοί Ramsey, συνεκτικότητα, κύκλος Euler, ασκήσεις.

Παράδοση 4/5/2020

• Γραφήματα: κύκλος Hamilton, ασκήσεις.

Παράδοση 8/5/2020

• Αναπαράσταση γραφημάτων, ισομορφισμός γραφημάτων..
• Επίπεδα γραφήματα.

Παράδοση 11/5/2020

• Επίπεδα γραφήματα.
• Δέντρα, συνδετικά δέντρα.

Παράδοση 15/5/2020

• Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο, αλγόριθμοι (παραδείγματα αλγορίθμων Kruskal και Prim>).
• Χρωματικός αριθμός γραφημάτων.

Παράδοση 18/5/2020

• Χρωματικός αριθμός. Ανεξάρτητα σύνολα και καλύμματα κορυφών.
• Αρχή εγκλεισμού - αποκλεισμού.

Παράδοση 22/5/2020

• Συνδυαστική απαρίθμηση: κανόνες γινομένου και αθροίσματος, διατάξεις και συνδυασμοί.

Παράδοση 25/5/2020

• Συνδυαστική απαρίθμηση: παραδείγματα και ασκήσεις.

Παράδοση 28/5/2020

• Συνδυαστική απαρίθμηση: παραδείγματα και ασκήσεις.
• Χρήση συνδυαστικής για τον υπολογισμό πιθανοτήτων σε διακριτούς δειγματοχώρους.

Παράδοση 1/6/2020

• Βασικές ιδιότητες δυωνυμικών συντελεστών.
• Γεννήτριες Συναρτήσεις: ορισμός και βασικές ιδιότητες.

Παράδοση 5/6/2020

• Γεννήτριες Συναρτήσεις: εφαρμογές στην απαρίθμηση συνδυασμών.

Παράδοση 10/6/2020

• Εκθετικές γεννήτριες συναρτήσεις και απαρίθμηση διατάξεων.

Παράδοση 12/6/2020

• Διατύπωση και επίλυση αναδρομικών σχέσεων.

Φροντιστηριακές Διαλέξεις

Φροντιστήριο 8/4/2020

• Σύνολα, Σχέσεις, Προτασιακή και Κατηγορηματική Λογική.

Φροντιστήριο 20/5/2020

• Ασκήσεις σε Θεωρία Γραφημάτων.

Φροντιστήριο 3/6/2020

• Ασκήσεις στη Συνδυαστική.